第七章 重积分
二重积分
∬f(x,y)dσ
- 常见方法:直角坐标系(x型,y型),极坐标系,任意坐标系
- 直角坐标系(x型):∬f(x,y)dxdy=∫abdx∫g1(x)g2(x)f(x,y)dy
- 直角坐标系(y型):∬f(x,y)dxdy=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx
- 极坐标系:∬f(x,y)dxdy=∫θ1θ2dθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr
- 任意坐标系:∬f(x,y)dxdy=∬f(x(u,v),y(u,v))∣J∣dudv
其中 ∣J∣=∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y
- 常用性质:奇偶对称性
- note:
转化为极坐标时常涉及高次cosx,sinx关于x的积分。
∫02πsin2k(x)dx=∫02πcos2k(x)dx=(2k)!!(2k−1)!!×2π
∫02πsin2k+1(x)dx=∫02πcos2k+1(x)dx=(2k+1)!!(2k)!!
当积分区域为椭圆时,令 x=arcosθ,y=brsinθ, 则 ∬f(x,y)dxdy=∫αβdθ∫0λf(arcosθ,brsinθ)abrdr
当积分不太好计算时,可以尝试交换积分顺序(注意上下限的变化)
三重积分
∭f(x,y,z)dV
- 常见方法: 直角坐标系(投影法,截面法),柱坐标系(投影法,截面法),球坐标系,任意坐标系
- 直角坐标系(投影法): ∭f(x,y,z)dxdydz=∬dxdy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
- 直角坐标系(截面法): ∭f(x,y,z)dxdydz=∫abdz∬f(x,y,z)dxdy
- 柱坐标系(投影法): ∭f(x,y,z)dxdydz=∬rdrdθ∫ψ(r,θ)ν(r,θ)f(rcosθ,rsinθ,z)dz
- 柱坐标系(截面法): ∭f(x,y,z)dxdydz=∫αβdθ∬f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdz
- 球坐标系: ∭f(x,y,z)dxdydz=∫αβdθ∫ωγsinψdψ∫g1(ψ,θ)g2(ψ,θ)f(ρsinψcosθ,ρsinψsinθ,ρcosψ)ρ2dρ
其中,θ 是在xy平面上与x轴的夹角(与x轴的正半轴重合记为0),ψ 是截面上与z轴的夹角(与z的正半轴重合记为0)
- 任意坐标系:∭f(x,y,z)dxdydz=∭f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))∣J∣dudvdw
其中,∣J∣=∂u∂x∂u∂y∂u∂z∂v∂x∂v∂y∂v∂z∂w∂x∂w∂y∂w∂z
- 常用性质: 奇偶对称性 (假设积分区域关于Oxy平面对称,则若f(x,y,z)关于z是奇函数,积分为0)
- note: 当积分区域为椭球时,令 x=arsinψcosθ,y=brsinψsinθ,z=crcosψ,则 ∭f(x,y,z)dxdydz=∫αβdθ∫νκsinψdψ∫0λf(arsinψcosθ,brsinψsinθ,crcosψ)abcr2dr
重积分的应用举例
- 求曲面面积:S=∬1+f2x(x,y)+f2y(x,y)dσ
其中,z=f(x,y) ,σ 是投影面积。
- 求质心: x0=m∭xρ(x,y,z)dV,y0=m∭yρ(x,y,z)dV,z0=m∭zρ(x,y,z)dV
- 求转动惯量:Jo=∭(x2+y2+z2)ρ(x,y,z)dV (到原点的转动惯量)
- 求引力:F=k∭r2m0ρ(x,y,z)dVrr
第八章 曲线积分与曲面积分
曲线积分
第一型曲线积分:化曲为直
∫Lf(x,y)ds=∫abf(x,y(x))1+[y′(x)]2dx
∫Lf(x,y)ds=∫αβf(φ(t),ψ(t))[φ′(t)]2+[ψ′(t)]2dt
∫Lf(x,y,z)ds=∫αβf(φ(t),ψ(t),ω(t))[φ′(t)]2+[ψ′(t)]2+[ω′(t)]2dt
第二型曲线积分:统一投影直线
∫F(x,y,z)⋅dr=∫Pdx+Qdy+Rdz
∫ABP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫ab[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y′(x)]dx
∫ABP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ[P(φ(t),ψ(t))φ′(t)+Q(φ(t),ψ(t))ψ′(t)]dt
- 封闭曲线:
格林公式(连续可导)
曲线正方向:内顺外逆
∮Pdx+Qdy=∬(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy
斯托克斯公式(本质格林公式)
∮Pdx+Qdy+Rdz=∬dydz∂x∂Pdzdx∂y∂Qdxdy∂z∂R
也可写成
∮Pdx+Qdy+Rdz=∬cosα∂x∂Pcosβ∂y∂Qcosγ∂z∂RdS
其中,L的正向与S的正向构成右手系。
且 (cosα,cosβ,cosγ) 是平面S的单位法向量
与路径无关的条件
- ∂x∂Q=∂y∂P
- Pdx+Qdy=du(x,y)
du(x,y)求法:
- 观察法 Pdx+Qdy=f(x)dx+[g(x,y)dx+u(x,y)dy]+k(y)dy=du
- 特殊路径法
曲面积分
第一型曲面积分:化曲面为平面
∬f(x,y,z)dS=∬f(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dσ
∬f(x,y,z)dS=∬f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))EG−F2dudv
其中,ru=xuyuzu,rv=xvyvzv,E=∣ru∣2,G=∣rv∣2,F=ru⋅rv
第二型曲面积分:统一投影平面
∬F⋅ndS=∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
曲面法向量:
F(x,y,z)=0,n=∇F(x,y,z)=(Fx,Fy,Fz)
投影在xy平面:
∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=±[∬P(x,y,z(x,y))(Fx)+Q(x,y,z(x,y))(Fy)+R(x,y,z(x,y))(Fz)]dxdy
根据曲线S的指向定正负,若指向z轴正方向,则取+,否则取—。
广义坐标变换:
∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=[±∬P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∂(u,v)∂(y,z)±∬Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∂(u,v)∂(z,x)±∬R(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∂(u,v)∂(x,y)]dudv
∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dV
即,∬F⋅ndS=∭divFdV ,div为散度
- note:若曲面S在某一坐标平面上投影为0 ,则相应积分为0
第九章 常微分方程
一阶常微分方程
分离变量法:
dxdy=f(x)⋅g(y)
可化为变量分离方程的几类方程:
形式:
(1) dxdy=f(ax+by+c) 令z=ax+by+c, 则 dxdz=a+bdxdy=a+bf(z),即 a+bf(z)dz=dx
(2) dxdy=f(x,y) ,其中,f(x,y) 是齐次函数,令 u=xy, 则 y=ux,y′=u+xu′=h(u),dxdu=xh(u)−u
(3) dxdy=f(a2x+b2y+c2a1x+b1y+c1),
- a1x+b1y=k(a2x+b2y), 联立方程组 {a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0 解得 (x0,y0) 令 u=x−x0,v=y−y0, 则 dudv=f(a2u+b2va1u+b1v), 转化为情况二
- a1x+b1y=k(a2x+b2y) ,则令 z=a1x+b1y,z′=a1+b1y′=a1+b1h(z)
一阶线性方程
dxdy+P(x)y=Q(x)
(1) Q(x)=0: dxdy=−P(x)y
(2) Q(x)=0:
-
常数变易法: 先得到左侧齐次方程的通解 y=Cφ(x),再将其中的C替换为C(x),将 y=C(x)φ(x) 代入原方程得,C′(x)φ(x)=Q(x), 求得C(x)
-
伯努利方程:
dxdy+P(x)y=Q(x)yα , 令 z=y1−α,1−α1dxdz+P(x)z=Q(x)
全微分方程
dxdy=Q(x,y)−P(x,y)
(1)观察法:上式可写作 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 , 令 du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, 则 u(x)=C
(2)积分因子法:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
只关于x的函数 F(x)=(∂y∂M−∂x∂N)/N(x,y) 则积分因子 μ(x)=e∫F(x)dx
只关于y的函数 G(y)=(∂x∂N−∂y∂M)/M(x,y) 则积分因子 μ(y)=e∫G(y)dy
高阶方程
(1)降阶法:
- 不显含y的方程:
F(x,y′,y′′)=0,z=y′,F(x,z,z′)=0
- 不显含x的方程:
F(y,y′,y′′)=0,p=y′,F(y,p,pdydp)=0 得到 G(p,y)=G(dxdy,y)=0
(2) 特征根+待定系数法:(适用于常系数微分方程)
y′′+py′+qy=f(x)
- 非齐次线性方程的解=齐次方程的通解+特解
- 通解:
当特征解为实数时:
{C1eλ1x+C2eλ2x+...,λi=λj(i=j)(C1+C2x+C3x2+...Cmxm−1)eλ1x,λ1=λ2=...=λm
当特征解为m重共轭复根 λ1,2=α±iβ 时:
eαx(C1cosβx+C2sinβx+C3xcosβx+C4xsinβx+...+Cnxm−1cosβx+Cnxm−1sinβx)
- 特解:
(3) 常数变易法:
先求齐次方程对应通解: y=Cφ1(x)+Cφ2(x)
接着,{C1′(x)φ1(x)+C2′(x)φ2(x)=0C1′(x)φ1′(x)+C2′(x)φ2′(x)=f(x)
y=C1(x)φ1(x)+C2(x)φ2(x) 即为非齐次方程的解
(4)消元法:(适用于常系数线性微分方程组)
原理:将y用 dtdx 或x表示,形成x的常系数微分方程
微分方程解的存在和唯一性定理
初值问题与积分方程 y=y0+∫x0xf(x,y)dx 等价
初值问题在区间 x∈[x0−h,x0+h] 有一个解,h=min(a,b/M),M=max{∣f(x,y)∣(x,y)∈R}
皮卡序列:yn(x)=y0+∫x0xf(x,yn−1(x))dx,x∈[x0−h,x0+h],n=1,2...
第十章 无穷级数
只含n的级数
- 收敛定义: Sn=∑k=1nak 部分和有极限S
- 由定义可延伸出判断级数发散的两种方法:
- 当n趋近于无穷时, an 不等于零,级数发散
- ∑k=n+1n+pak≥l(l>0) (由此可判断 ∑n=1∞n1 发散)
- 比较判别:un≤vn ,若 ∑n=1∞un 发散则 ∑n=1∞vn 发散 , 若 ∑n=1∞vn 收敛,则 ∑n=1∞un 收敛
- 比值判别:limn→∞vnun=h
(1) h=0,若 ∑n=1∞vn 收敛,则 ∑n=1∞un 收敛
(2)h=∞ , 若 ∑n=1∞vn 发散,则 ∑n=1∞un 发散
(3)0<h<∞ , 则 ∑n=1∞vn 与 ∑n=1∞un 敛散性相同
- 达朗贝尔判别: limn→∞unun+1=l (1)l<1,收敛 (2)l>1,发散 (3)l=1,不定
- 柯西判别: limn→∞nun=l (1)l<1,收敛 (2)l>1,发散 (3)l=1,不定
- 积分判别: un=f(n) , f(x)单调下降且非负,则 ∑n=1∞un 收敛 ↔∫1∞f(x)dx 收敛
- 交错级数的收敛判别法:
莱布尼茨判别法:
(1)∣un∣≥∣un+1∣(2)limn→∞∣un∣=0
- ∑k=1∞akbk 类型级数收敛判别法:
- 迪利克雷判别:序列 {ak} 单调且 limk→∞ak=0 , 又 ∣∑k=1nbk∣≤M
- 阿贝尔判别:序列 {ak} 单调且 ∣limk→∞{ak}∣≤M , 又 ∑k=1∞bk 收敛
-
任意项级数收敛判别法:
绝对收敛则一定收敛:若 ∑k=1∞∣uk∣ 收敛,则 ∑k=1∞uk 收敛
-
note:
等比级数:Sn=1−qa(1−qn)−>{1−qa,∣q∣<1∞,∣q∣>1
p级数: ∑n=1∞np1 ,当 p≤1 时发散,p>1时收敛
级数 ∑n=1∞npsinnφ ,p>1时绝对收敛,0≤p≤1 时条件收敛
函数级数
- 函数序列一致收敛:存在 N(ε) ,只要 n>N(ε) ,总有 ∣fn(x)−f(x)∣<ε ,其中,f(x)=limn→∞fn(x)
- 由定义可延伸出判断函数序列不一致收敛的方法:
存在点列 xn∈X 使得 ∣fn(xn)−f(xn)∣≥l(l>0) , 或 [fn(xn)−f(xn)]→k=0(n→∞)
- 函数项级数一致收敛: Sn(x)=∑k=1nuk(x) 在X上一致收敛,则级数 ∑n=1∞un(x) 在X上一致收敛
- 类比只含n级数可延伸出判断函数项级数不一致收敛的方法:
- 一般项 un(x) 不一致趋于0,即存在点列 xn∈X 使得 limn→∞∣un(x)∣=0
- ∑k=n+1n+puk(x)≥l(l>0)
- 强级数判别:∣un(x)∣≤an , ∑n=1∞an 收敛,则该级数在X上一致收敛
有的时候可以通过求导获取 un(x) 的极大值,极大值收敛也可证明该级数收敛
- 迪利克雷判别:un(x)=an(x)bn(x)
(1) {an(x)} 对n单调,且 {an(x)} 在X上一致收敛于0
(2) 部分和一致有界 ∣∑k=1nbk(x)∣≤M
- 阿贝尔判别:
(1) {an(x)} 对n单调,且 {an(x)} 在X上一致有界
(2) ∑n=1∞bn(x) 在X上一致收敛
- limx→x0∑n=1∞un(x)=∑n=1∞limx→x0un(x) (条件: ∑n=1∞un(x) 一致收敛且每一项都连续)
- ∫ab∑k=1∞uk(x)dx=∑k=1∞∫abuk(x)dx(条件: ∑n=1∞un(x) 一致收敛且每一项都连续)
- g′(y)=∫ab∂y∂f(x,y)dx , 即有连续导函数(条件: ∑n=1∞un(x) 点点收敛,∑n=1∞un′(x))一致收敛且每一项都连续)
- note:
∣∑k=1nsinkx∣(∣∑k=1ncoskx∣)≤sin2x1
通常使用 ∫axS′(x)dx=S(x)−S(a) 得到 S(x)
幂级数
- 收敛半径R: 敛散性的分界点为x=R,即 limn→∞unun+1=1 时 ∣x∣ 的取值
- R的求法:
- limn→∞anan+1=l , 则 R=l1
- limn→∞nan=l , 则 R=l1
- 内闭一致性:对 ∀0<b<R ,幂级数在 [−b,b] 上一致收敛;若幂级数在右端点x=R(左端点x=-R)处收敛,则它在 [0,R] ( [−R,0] )上一致收敛
- 连续性:幂级数的和函数 S(x)=∑n=0∞anxn 在收敛区间上连续
- ∫0xS(t)dt=∑n=0∞∫0xantndt=∑n=0∞n+1anxn+1
- S′(x)=∑n=0∞(anxn)′=∑n=1∞nanxn−1
泰勒级数
- 形式:f(x)=∑n=0∞an(x−x0)n ,其中,an=n!1f(n)(x0),且 x−x0∈(−R,R)
- 泰勒余项:Rn(x)=an+1(x−x0)n+1=(n+1)!1f(n+1)(x+θ(x−x0))(x−x0)n+1 , f(x)能展开为泰勒级数的充要条件是 limn→∞Rn(x)=0
- 在0附近的泰勒展开:
- ex=∑0∞n!1xn
- sinx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1
- cosx=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n
- arctanx=∑n=0∞(−1)n2n+11x2n+1
- ln(1+x)=∑n=0∞(−1)nn+1xn+1
- (1+x)a=∑n=0∞(αn)xn
- note:
陌生的函数可以先积分转化为熟悉函数的形式,在此形式上泰勒展开,再求导得到原函数的泰勒展开
第十一章 广义积分与含参变量的积分
广义积分
无穷积分
- 收敛定义: 若 limA→∞∫aAf(x)dx 存在,则称无穷积分 ∫a∞f(x)dx 收敛
∫−∞∞f(x)dx=∫−∞0f(x)dx+∫0∞f(x)dx 当右端两个无穷积分都收敛时,左端才收敛
- 柯西收敛原理: 对任意 ε , 存在 A,使得 ∫AA′f(x)dx<ε
命题:若 ∫a∞∣f(x)∣dx 收敛,则 ∫a∞f(x)dx 收敛
- 收敛判别法:
- 比较判别:设f(x),g(x)在 [a,∞) 上有定义,且 0≤f(x)≤g(x),则
(1) 由 ∫a∞g(x)dx 收敛可推出 ∫a∞f(x)dx 收敛
(2) 由 ∫a∞f(x)dx 发散可推出 ∫a∞g(x)dx 发散
- 比较判别的极限形式:limx→∞g(x)f(x)=k
(1) k=0,分母收敛则分子收敛
(2) k=∞ 分母发散则分子发散
(3) k=l, 0<l<∞ 则分子与分母敛散性一致
- 迪利克雷判别法:对于 ∫a∞f(x)g(x)dx , 对一切 A≥a , 都有 ∫aAf(x)dx 有界;且g(x)单调趋于零,则收敛
- 阿贝尔判别法: ∫a∞f(x)dx 收敛,且 ∫a∞g(x)dx 单调有界,则收敛
瑕积分
- 收敛定义: 若 limε→0+0∫a+εbf(x)dx 存在,则称以a为瑕点的瑕积分 ∫abf(x)dx 收敛
若a,b均为瑕点,则 ∫abf(x)dx=limε→0+0∫a+εcf(x)dx+limη→0+0∫cb−ηf(x)dx 右端两式均收敛则左端收敛
若a为瑕点,且是无穷积分,则 ∫a∞f(x)dx=∫acf(x)dx+∫c∞f(x)dx 右端两式均收敛则左端收敛
- 柯西收敛原理: ∫a+δ1a+δ2f(x)dx<ε
命题:若 ∫ab∣f(x)∣dx 收敛,则 ∫abf(x)dx 收敛
- 收敛判别法:
- 比较判别:f(x)和g(x)均以a为瑕点,且 0≤f(x)≤g(x) ,则
(1) 由 ∫abg(x)dx 收敛可推出 ∫abf(x)dx 收敛
(2) 由 ∫abf(x)dx 发散可推出 ∫abg(x)dx 发散
- 比较判别的极限形式:limf(x)→a+0g(x)f(x)=k
(1) k=0,分母收敛则分子收敛
(2) k=∞ 分母发散则分子发散
(3) k=l, 0<l<∞ 则分子与分母敛散性一致
- 迪利克雷判别:∫abf(x)g(x)dx , a为瑕点,若 ∫Abf(x)dx 有界,a<A<b ,且g(x)在 x→a 时单调趋近于0,则收敛
- 阿贝尔判别:若 ∫abf(x)dx 收敛,g(x)单调有界,则收敛
- 在使用比较判别法时,常用到以下典型瑕积分:
∫ab(x−a1)pdx 或 ∫ab(b−x1)pdx
其中, p≥1 时发散,p<1时收敛
- 常用洛必达法则判断某点是否为瑕点,如果该点有极限则不是瑕点
含参变量的正常积分
- 连续性: f(x,y)在R上连续时,g(y)在[c,d]上也连续,故有 limy→y0g(y)=g(y0) ,即 limy→y0∫abf(x,y)dx=∫abf(x,y0)dx=∫ablimy→y0f(x,y)dx
- 可积性: f(x,y)在R上连续时,∫cddy∫abf(x,y)dx=∫abdx∫cdf(x,y)dy
- 可微性: f(x,y)在R上连续时,dyd∫abf(x,y)dx=∫abfy(x,y)dx ,
当 g(y)=∫u(y)v(y)f(x,y)dx 时,g′(y)=∫u(y)v(y)fy(x,y)dx+f(v(y),y)v′(y)−f(u(y),y)u′(y)
含参变量的广义积分
-
一致收敛定义: g(y)=∫a∞f(x,y)dx , 总存在A,使得,∫A∞f(x,y)dx<ε 则g(y)一致收敛。
则当 ∫A∞f(x,y)dx>l (l>0), 或 limy→y0∫A∞f(x,y)dx=k=0 时,无穷积分不一致收敛
-
一致收敛判别法:
- 比较判别:若 ∣f(x,y)∣≤φ(x) ,且 ∫0∞φ(x)dx 收敛,则g(y)一致收敛
- 迪利克雷判别:当 x→∞,g(x,y)=0 且 ∫aAf(x,y)dx≤M , 则 ∫a∞f(x,y)g(x,y)dx 一致收敛
- 阿贝尔判别:当g(x,y)关于x单调且有界,∫a∞f(x,y)dx 一致收敛 ,则 ∫a∞f(x,y)g(x,y)dx 一致收敛
- ∫cdg(y)dy=∫cddy∫a∞f(x,y)dx=∫a∞dx∫cdf(x,y)dy (条件:g(y)一致收敛)
- ∫cdg(y)dy=∫cddy∫a∞f(x,y)dx=∫a∞dx∫cdf(x,y)dy (条件:g(y)点点收敛,∫a∞∂y∂f(x,y)dx 一致收敛)
Γ 函数与B函数
- Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx
- Γ(n+1)=nΓ(n)=...=n!
- Γ(21)=π
- B(p,q)=∫01xp−1(1−x)q−1dx
- B(p,q)=B(q,p)
- B(p,q)=Γ(p+q)Γ(p)⋅Γ(q)
- note:
∫0∞xsinαxdx=⎩⎨⎧2π,α>00,α=0−2π,α<0
∫02πcosmθsinnθdθ=21B(2m+1,2n+1)
第十二章 傅里叶级数
三角函数系及其正交性
- 基本三角函数系:1,cosx,sinx,...,cosnx,sinnx,...
- 正交性:在基本三角函数系中任意两个不同函数的乘积在 [−π,π] 上的积分为0
傅里叶级数及收敛性定理
设f(x)是一个以 2π 为周期的函数,则
- f(x)=2a0+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)
其中,
a0=π1∫−ππf(x)dx
an=π1∫−ππf(x)cosnxdx
bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx
设f(x)是一个以T为周期的函数,则
- f(x)=2a0+∑n=1∞(ancoslnπx+bnsinlnπx)
其中,令 l=2T
a0=l1∫−llf(x)dx
an=l1∫−llf(x)cosnxdx
bn=l1∫−llf(x)sinnxdx
- 迪利克雷定理: S(x)={f(x)2f(x+0)+f(x−0)
- note:
- 注意f(x)的奇偶性,当f(x)是偶函数时,bn=0,当f(x)是奇函数时,an=0
- 若是展开成余弦级数,则将f(x)进行偶延拓( bn=0 ),若是展开成正弦函数,则将f(x)进行奇延拓 ( an=0 )
帕塞瓦尔等式
- 2a02+∑k=1∞(ak2+bk2)=π1∫−ππf2(x)dx ,可用于求某些级数
完结撒花ovo!!