公式总结

第26章 波粒二象性

热辐射

  • 物体热辐射强度与温度和物体材料有关，温度越高，热辐射强度越大
  • 黑体辐射只和温度和波长有关（以下公式根据黑体辐射推出）
  • 波长一定，辐出度 M=σT4M=\sigma T^4
  • 温度一点，M最强处波长 λm=bT\lambda_m=\frac bT

光的二相性

  • 光的粒子性：E=mc2=hμE=mc^2=h\mu
  • 光子动能：p=hλp=\frac h\lambda
  • 光电效应方程：hμ=A+12mv2h\mu=A+\frac12mv^2

康普顿散射

  • 波长较小的光子与外层电子相撞，波长变长 △λ=2λcsin⁡2(θ2)\triangle\lambda=2\lambda_c\sin^2(\frac\theta2)
    其中，θ2\frac\theta2 是光子的散射角

不确定关系

  • △x△px⩾h2\triangle x\triangle p_x\geqslant\frac h2

第24章 光的偏振

光的偏振

  • 三类偏振态：非偏振光：无偏振（如自然光）、偏振光（线偏振等）、部分偏振光（介于两者之间）。其中自然光可视为点线交错
  • 马吕斯定律：I=I0cos⁡2αI=I_0\cos^2\alpha
  • 入射角为布儒斯特角 ibi_b 时,反射光为垂直于入射面的线偏振光，且：tan⁡ib=n2n1=n21\tan i_b=\frac{n_2}{n_1}=n_{21}
    (注意：全反射反射角为 sin⁡ic=n2n1\sin i_c=\frac{n_2}{n_1})

第23章 光的衍射

夫琅禾费衍射

  • 单缝衍射：
    （暗纹位置）asin⁡θ=±2kλ2=±kλa\sin\theta=\pm2k\frac\lambda2=\pm k\lambda , a为缝宽
    （明纹位置）asin⁡θ=±(2k+1)λ2a\sin\theta=\pm\left(2k+1\right)\frac\lambda2
  • 圆孔衍射：Dsin⁡θ=1.22λD\sin\theta=1.22\lambda , θ\theta 为中央亮斑角半径， D为圆孔直径
  • 巴比涅原理：两个互补透光屏所产生的振幅分布之和等于全透屏所产生的振幅分布，即两个互补的透光屏产生的衍射图样互补

光学仪器的分辨本领

  • 最小分辨角（角分辨率）：δθ=1.22λD\delta\theta=1.22\frac\lambda D
  • 分辨率：R=1δθR=\frac1{\delta\theta}

光栅衍射

  • 谱线（明条纹/主极大）的位置满足：dsin⁡θ=kλd\sin\theta=k\lambda , d为光栅常数，即两缝之间距离
  • 缺级现象：k=±dak′k=\pm\frac dak'
  • 光栅的分辨本领：R=λδλ=kNR=\frac\lambda{\delta\lambda}=kN , k为级数

X射线衍射的布拉格公式

  • 干涉加强：2dsin⁡φ=kλ2d\sin\varphi=k\lambda

  • note:
    衍射角 θ\theta 等于条纹与透镜水平轴的夹角

第22章 光的干涉

杨氏双缝干涉

  • 干涉加强波程差：δ=±kλ,  (k=0,1,2...)\delta=\pm k\lambda,\;(k=0,1,2...)
  • 干涉减弱波程差：δ=±(2k−1)λ2,  (k=1,2...)\delta=\pm(2k-1)\frac\lambda2,\;(k=1,2...)
  • 第k级明条纹位置：x=±kDdλ,  (k  =  0,1,2...)x=\pm k\frac Dd\lambda,\;(k\;=\;0,1,2...)
  • 第k级暗条纹位置：x=±(2k−1)Ddλ2,  (k  =  1,2,3...)x=\pm(2k-1)\frac Dd\frac\lambda2,\;(k\;=\;1,2,3...)
  • 条纹间距：△x=Ddλ\triangle x=\frac Dd\lambda

光程

  • 折射率：n=cun=\frac cu
  • 光程：r=nxr=nx
  • 相差：△φ=2π△rλ\triangle\varphi=2\pi\frac{\triangle r}\lambda

薄膜干涉

  • 半波损失： 光从光疏介质射向光密介质在界面上反射时，光程 ±λ2\pm\frac\lambda2
  • 经典模型：
    (1) 等厚条纹：
    劈尖：
    对明条纹：2nh+λ2=kλ,  (k=1,2...)2nh+\frac\lambda2=k\lambda,\;(k=1,2...)
    对暗条纹：2nh+λ2=(2k+1)λ2,  (k=0,1...)2nh+\frac\lambda2=(2k+1)\frac\lambda2,\;(k=0,1...)
    相邻明（暗）条纹对应厚度差相等：△h=λ2n\triangle h=\frac\lambda{2n}
    检测工件凸起高度：h=b′bλ2h=\frac{b'}b\frac\lambda2
    牛顿环：
    对明条纹：δ=2h+λ2=kλ,  (k=1,2...)\delta=2h+\frac\lambda2=k\lambda,\;(k=1,2...)
    对暗条纹：δ=2h+λ2=(2k+1)λ2,  (k=0,1...)\delta=2h+\frac\lambda2=(2k+1)\frac\lambda2,\;(k=0,1...)
    (2) 等倾条纹：
    对明条纹：2hn2−sin⁡2i+λ2=kλ,  (k=1,2...)2h\sqrt{n^2-\sin^2i}+\frac\lambda2=k\lambda,\;(k=1,2...)
    对暗条纹：2hn2−sin⁡2i+λ2=(2k+1)λ2,  (k=0,1,2...)2h\sqrt{n^2-\sin^2i}+\frac\lambda2=(2k+1)\frac\lambda2,\;(k=0,1,2...)
    中心吐出（吞进）一个亮斑时，膜厚增加（减少）△d=λ2n\triangle d=\frac\lambda{2n}

迈克耳孙干涉仪
两条光路具有光程差

tips： 薄膜干涉中，透射光若要干涉加强（减弱），则反射光干涉减弱（加强）
光程差改变量与条纹移动条数的关系 △δ=Nλ\triangle\delta=N\lambda 光程差改变一个 λ\lambda ，条纹移动1条。

第20章 电磁感应

法拉第电磁感应定律

  • 电动势：ε=−dψdt\varepsilon=-\frac{d\psi}{dt}
  • 磁链：（对螺线管）ψ=Nφ=NBS\psi=N\varphi=NBS

动生电动势：εab=∫abv×B⋅dl\varepsilon_{ab}=\int_a^b\boldsymbol v\times\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol l

感生电动势和感生电场：ε=∮Ei⋅dr=−dφdt=−ddt∫sB⋅dS\varepsilon=\oint{\boldsymbol E}_{\mathbf i}\boldsymbol\cdot d\boldsymbol r=-\frac{d\varphi}{dt}=-\frac d{dt}\int_s\boldsymbol B\boldsymbol\cdot d\boldsymbol S

互感

  • 互感系数：M=φ21i1=φ12i2M=\frac{\varphi_{21}}{i_1}=\frac{\varphi_{12}}{i_2}
  • 互感电动势：ε21=−Mdi1dt\varepsilon_{21}=-M\frac{di_1}{dt}

自感

  • 自感系数：L=ψiL=\frac\psi i
  • 自感电动势：εL=−Ldidt\varepsilon_L=-L\frac{di}{dt}
  • 自感磁能：Wm=12LI2W_m=\frac12LI^2

磁场的能量密度：ωm=B22μ=12B⋅H\omega_m=\frac{B^2}{2\mu}=\frac12\boldsymbol B\boldsymbol\cdot\boldsymbol H

第19章 磁场中的磁介质

磁介质

  • 磁介质中的磁场： B=B0+B′=μrB0\boldsymbol B={\boldsymbol B}_{\mathbf0}+\boldsymbol B\boldsymbol'=\mu_r{\boldsymbol B}_{\mathbf0}

磁化机理
分子圆电流或分子固有磁矩在外磁场中，会受到磁场的力矩作用，使得磁矩和磁场方向相同。
顺磁质磁矩不为零，逆磁质磁矩为零。

  • 磁力矩： M=m×B=IS×B\boldsymbol M=\boldsymbol m\times\boldsymbol B=I\boldsymbol S\boldsymbol\times\boldsymbol B
  • 磁化强度M（单位体积内所有分子的固有磁矩与附加磁矩之和）： M=μr−1μ0μrB=χmH=(μr−1)H\boldsymbol M=\frac{\mu_r-1}{\mu_0\mu_r}\boldsymbol B=\chi_m\boldsymbol H=(\mu_r-1)\boldsymbol H
    μr>1\mu_r>1 为顺磁质，μr<1\mu_r<1 为逆磁质
  • 束缚电流面密度j：js=M×en{\boldsymbol j}_{\mathbf s}=\boldsymbol M\times{\boldsymbol e}_{\mathbf n} ，其中 en{\boldsymbol e}_{\mathbf n} 为介质表面法向量

H的环路定理

  • ∮H⋅dr=∑I0in\oint\boldsymbol H\cdot d\boldsymbol r=\sum_{}^{}I_{0in}
    对于各向同性磁介质：
  • 磁场强度H：H=1μ0B−M=1μrμ0B\boldsymbol H=\frac1{\mu_0}\boldsymbol B-\boldsymbol M=\frac1{\mu_r\mu_0}\boldsymbol B

铁磁质

  • 磁场的边界条件：H1t=H2t  ,  B1n=B2nH_{1t}=H_{2t}\;,\;B_{1n}=B_{2n}
  • 磁屏蔽：tan⁡θ1tan⁡θ2=μ1μ2  (μ2>>μ1  ,  θ2→π2)\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\mu_1}{\mu_2}\;(\mu_2>>\mu_1\;,\;\theta_2\rightarrow\frac\pi2)

第18章 磁力

带电粒子在均匀磁场中的运动

  • 洛伦兹力：F=qv×B\boldsymbol F=q\boldsymbol v\times\boldsymbol B
  • 螺旋运动螺距：h=v∥T=v∥2πmqBh=v_\parallel T=v_\parallel\frac{2\pi m}{qB}

霍尔效应

  • 霍尔电压：U=Ed=Bvd=IBnqbU=Ed=Bvd=\frac{IB}{nqb}

载流导线在磁场中受到的磁力————安培力

  • 对一段载流导线：F=∫LIdl×B\boldsymbol F=\int_LId\boldsymbol l\times\boldsymbol B

平行载流导线间的相互作用力

  • 单位长度导线线段受力大小：F1=F2=μ0I1I22πdF_1=F_2=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\mathrm{πd}}

第17章 磁场和它的源

毕奥-萨伐尔定律

  • 电流元的磁场：dB=μ04π1r2Idl×erd\boldsymbol B=\frac{\mu_0}{4\mathrm\pi}\frac1{r^2}Id\boldsymbol l\times{\boldsymbol e}_{\mathbf r}

典型磁场

  • 长直电流磁场：B=μ0I4πr(cos⁡θ1−cos⁡θ2)B=\frac{\mu_0I}{4\pi r}(\cos\theta_1-\cos\theta_2)
  • 无限长直电流磁场：B=μ0I2πrB=\frac{\mu_0I}{2\pi r}
  • 长螺线管磁场：B=μ0nI2(cos⁡θ1−cos⁡θ2)B=\frac{\mu_0nI}2(\cos\theta_1-\cos\theta_2)
  • 无限长螺线管磁场：B=μ0nIB=\mu_0nI
  • 圆弧电流圆心处磁场：B=μ0I2Rθ2πB=\frac{\mu_0I}{2R}\frac\theta{2\pi}
  • 圆电流圆心处磁场：B=μ0I2RB=\frac{\mu_0I}{2R}

安培环路定理

  • (恒定电流) ∮B⋅dr=μ0∑Iin\oint\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol r=\mu_0\sum_{}^{}I_{in}

普遍的安培环路定理

  • （恒定+变化电场）∮B⋅dr=μ0(I+ε0ddt∫SE⋅dS)\oint\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol r=\mu_0(I+\varepsilon_0\frac d{dt}\int_{\mathbf S}\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol S)
  • 位移电流: Id=ε0ddt∫SE⋅dSI_d=\varepsilon_0\frac d{dt}\int_{\mathbf S}\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol S
  • 位移电流密度：Jd=ε0ddtEJ_d=\varepsilon_0\frac d{dt}\boldsymbol E

第16章 恒定电流

电流密度

  • J=IS=nqvJ=\frac IS=nqv

欧姆定律

  • U=IRU=IR
  • 微分形式：J=σE=EρJ=\sigma E=\frac E\rho

基尔霍夫方程

  • 节点电流方程（可列出n-1个）：∑Ii=0\sum_{}^{}I_i=0
  • 回路电压方程（可列出m-n+1个）：∑(∓εi)+∑(±IiRi)=0\sum_{}^{}(\mp\varepsilon_i)+\sum_{}^{}(\pm I_iR_i)=0 ，沿选取回路方向，与电动势同向（从电源负极到正极）取负，与电流同向取正。

第15章 静电场中的电介质

电介质

  • 电介质中的电场： E=E0+E′=1μrE0\boldsymbol E={\boldsymbol E}_{\mathbf0}+\boldsymbol E\boldsymbol'=\frac1{\mu_r}{\boldsymbol E}_{\mathbf0}

电极化机理
使得电矩方向与电场方向相同

  • 电偶极子在电场中受到的力矩：M=p×E\boldsymbol M=\boldsymbol p\times\boldsymbol E
  • 电极化强度P：P=ε0(εr−1)E=(1−1εr)D\boldsymbol P=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\boldsymbol E=(1-\frac1{\varepsilon_r})\boldsymbol D
  • 面束缚电荷密度：σ′=P⋅en\sigma'=\boldsymbol P\cdot{\boldsymbol e}_{\mathbf n}

D的高斯定律

  • ∮D⋅dS=q0in\oint\boldsymbol D\cdot d\boldsymbol S=q_{0in}
  • 静电场的边界条件：E1t=E2t  ,  D1n=D2nE_{1t}=E_{2t}\;,\;D_{1n}=D_{2n}

电容器的电容

  • C=QUC=\frac QU
  • 计算方法：∬E⋅dS=qε0εr,  U=∫Edr,  C=QU\iint E\cdot dS=\frac q{\varepsilon_0\varepsilon_r},\;U=\int_{}^{}Edr,\;C=\frac QU
  • 并联电容器组：C=∑CiC=\sum_{}^{}C_i
  • 串联的电容器组：1C=∑1Ci\frac1C=\sum_{}^{}\frac1{C_i}
  • tips：
    （1）串联Q相等，并联U相等
    （2）平板间电容大小：C=ε0SdC=\frac{\varepsilon_0S}d

电容器的能量

  • W=12Q2C=12CU2=12QUW=\frac12\frac{Q^2}C=\frac12CU^2=\frac12QU

电介质中电场的能量密度

  • ωe=ε0εrE22=DE2\omega_e=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_rE^2}2=\frac{DE}2
  • W=∫ωedVW=\int_{}^{}\omega_edV

第14章 静电场中的导体

导体的静电平衡的条件

  • Ein=0  ,  Es⊥SE_{in}=0\;,\;{\boldsymbol E}_{\mathbf s}\perp\boldsymbol S

静电平衡的导体上电荷的分布

  • qin=0,  σ=ε0Eq_{in}=0,\;\sigma=\varepsilon_0E
  • 无限大平面场强： E=σ2ε0E=\frac\sigma{2\varepsilon_0}
  • tips: 接地一侧的表面电荷为0，电场为0，电势为0

第13章 电势

电势

  • 电势差：U12=φ1−φ2=∫(P1)(P2)E⋅drU_{12}=\varphi_1-\varphi_2=\int_{(P_1)}^{(P_2)}\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol r

  • 电势：φP=∫PP0E⋅dr\varphi_P=\int_P^{P_0}\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol r , P0P_0 是电势零点

  • 功：A12=qU12A_{12}=qU_{12}

  • 电荷连续分布的带电体的电势：φ=∫dq4πε0r\varphi=\int_{}\frac{dq}{4{\mathrm{πε}}_0\mathrm r}

  • 场强与电势关系式：E=−∇φ=−(∂φ∂xi+∂φ∂yj+∂φ∂zk)\boldsymbol E=-\nabla\varphi=-(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\boldsymbol i+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\boldsymbol j+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\boldsymbol k)

  • 电荷的电势能：W=qφW=q\varphi

  • 电偶极子的电势能：W=−p⋅EW=-\boldsymbol p\cdot\boldsymbol E

  • note:也可通过电势叠加法求电势

第12章 静电场

场强

  • 电荷连续分布的带电体产生的场强：E=∫qdq4πε0r2er\boldsymbol E=\int_q\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0r^2}{\boldsymbol e}_{\mathbf r}

高斯定律

  • ∮E⋅dS=1ε0∑qin\oint\boldsymbol E\cdot d\boldsymbol S=\frac1{\varepsilon_0}\sum_{}^{}q_{in}

第11章 热力学第二定律

熵

  • 定义：S=kln⁡ΩS=k\ln\Omega
  • 可逆过程：dS=dQTdS=\frac{dQ}T ， 对于不可逆过程：dS>dQTdS>\frac{dQ}T

第10章 热力学第一定律

  • 内能： E=i2νRTE=\frac i2\nu RT
  • 理想气体状态方程：PV=νRTPV=\nu RT

热力学第一定律

  • dQ=dE+dAdQ=dE+dA A为系统对外界做功
  • dA=pdV  ,  A=∫V1V2pd⁡VdA=pdV\;,\;A=\int_{V_1}^{V_2}p\operatorname dV

热容

  • 定体热容：CV,m=1ν(dQdT)V=i2RC_{V,m}=\frac1\nu{\left(\frac{dQ}{dT}\right)}_V=\frac i2R

  • 定压热容：CP,m=1ν(dQdT)P=i+22RC_{P,m}=\frac1\nu{\left(\frac{dQ}{dT}\right)}_P=\frac{i+2}2R

  • 迈耶比：γ=Cp,mCV,m=i+2i\gamma=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}=\frac{i+2}i

  • note:
    单原子 i=3，双原子 i=5

绝热过程

  • p1V1γ=p2V2γp_1V_1^\gamma=p_2V_2^\gamma
  • A=−△E=1γ−1(p1V1−p2V2)A=-\triangle E=\frac1{\gamma-1}\left(p_1V_1-p_2V_2\right)

循环过程

  • 热循环：从高温热库吸热做功，向低温热库放热 η=AQ1=1−Q2Q1\eta=\frac A{Q_1}=1-\frac{Q_2}{Q_1}
  • 致冷循环：从低温热库吸热，接受外界做功，向高温热库放热 ω=Q2A=Q2Q1−Q2\omega=\frac{Q_2}A=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2} Q2Q_2 是吸收的热量

卡诺循环
系统只和两个恒温热库（ T1,  T2T_1,\;T_2 ）进行热交换的无损耗准静态循环过程

  • 正循环的效率：η=1−T1T2\eta=1-\frac{T_1}{T_2}
  • 逆循环的制冷系数：ω=T2T1−T2\omega=\frac{T_2}{T_1-T_2}
完结撒花ovo！!